Einführung21

Zu diesem Buch 21

Konventionen in diesem Buch 21

Was Sie nicht lesenmüssen 22

Törichte Annahmen über den Leser 22

Wie dieses Buch aufgebaut ist 22

Symbole in diesem Buch 25

Wie es weitergeht 25

Teil I Grundlagen Der Linearen Algebra27

Kapitel 1 Die bunte Welt der linearen Algebra 29

Dafür braucht man lineare Algebra 30

Systeme von Gleichungen lösen 31

Geometrische Rätsel knacken 32

Die Bausteine der linearen Algebra erkennen 34

Körper und Vektorräume 34

Sinnvolle Verknüpfungen von Vektoren 35

Die Werte in Reih und Glied bringen 36

Matrizen und ihre Verknüpfungen 38

Determinanten 40

Alles in einen linearen Zusammenhang bringen 41

Lineare Abbildungen 41

Affine Transformationen 44

Noch bunter geht es nicht 44

Eigenwerte und Eigenvektoren 45

Diagonalisieren und der Spektralsatz 47

Wie man den linearen Überblick behält 49

Kapitel 2 Zahlen gegen reelle Komplexe53

Reelle Zahlen in der Realität 53

Grundidee der komplexen Zahlen 56

Crashkurs: Rechnenmit komplexen Zahlen 60

Addition und Subtraktion komplexer Zahlen 60

Multiplikation und Division komplexer Zahlen 63

Besonderheiten komplexer Zahlen 65

Beträge komplexer Zahlen 65

Konjugierte Komplexe 67

Kapitel 3 Körper und andere Welten73

Verkündigung der Körpergesetze 73

Das Assoziativgesetz 75

Das Kommutativgesetz 78

Das neutrale Element 81

Inverse Elemente 82

Das Distributivgesetz 84

Die Algebraische Struktur der Körper 85

Endlich unendliche Körper 86

Der kleinste Körper 86

Die Klassischen Zahlkörper 89

Na so was: die Restklassenkörper 90

Kapitel 4 Wen Amors Vektor trifft 93

Woher die Vektoren kommen 93

Erweitern Sie Ihren Horizont umnDimensionen 94

Grundlegende Vektoroperationen 96

Addition und Subtraktion von Vektoren 97

Skalare Multiplikation von Vektoren 99

Das Skalarprodukt von Vektoren 100

Die Norm eines Vektors 102

Das Vektorprodukt 104

Der Winkel zwischen Vektoren 105

Diese Vektoren sind nicht normal 108

Jetzt wird es eng: dern-Raum 109

Der Euklidischen-Raum 110

Der komplexen-Raum 111

Warum das alles kein Unsinn ist 112

Arbeit und Kraft 113

Das Drehmoment 114

Tricks mit Vektoren 116

Der Kosinussatz 116

Teil II Landschaftserkundung Zur Linearen Algebra119

Kapitel 5 Vektorräume mit Aussicht121

Räume voller Vektoren 121

Vektorraumoperationen 122

Addition von Vektoren 123

Skalare Multiplikation 124

Vektorraumeigenschaften 125

Massenhaft Beispiele für Vektorräume 126

Vektorräume ausn-Tupeln 126

Vektorräume aus Polynomen 127

Vektorräume aus Matrizen 129

Vektorräume von Folgen und Funktionen 130

Vektorräume aus linearen Abbildungen 132

Vektorräume aus Körpern 133

Unterräume aber nicht im Kellergeschoss 133

Die formale Spezifikation der Unterräume 134

Eine Abkürzung zu den Unterräumen 135

Aufräumen in den Unterräumen 136

Summen von Unterräumen 140

Direkte Summen von Unterräumen 142

Kapitel 6 LGS Auf lineare Steine können Sie bauen 145

Wie lineare Gleichungssysteme entstehen 145

Darstellungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme 150

Die Quadratische Form 150

Die Stufenform 152

Die Idealform 153

Prinzipielle Lösungsmengen von LGSen 155

Eindeutige Lösung 155

Freie Parameter in der Lösung 156

Keine Lösungen 158

Das Gaußsche Eliminationsverfahren zur Lösung von LGSen 158

Der Gauß-Jordan-Algorithmus 163

Lösung eines LGS über die erweiterte Koeffizientenmatrix 165

So geht es auch: LR-Zerlegung nach Gauß 167

Determinanten zur Bestimmung von Lösungen 169

Lösung à la Cramer& Cramer 170

Inverse Matrizen zur Lösung einer Matrizengleichung 172

Parametrisierte LGS 173

Kapitel 7 Die Matrix ist überall 181

Wie eine Matrix das Leben erleichtert 181

Lineare Gleichungssysteme als Matrizen darstellen 183

Grundlegende Matrixoperationen 184

Addition von Matrizen 184

Skalare Multiplikation von Matrizen 185

Matrix-Vektorprodukt 187

Matrizenmultiplikation 188

Transposition von Matrizen 191

Der Rang einer Matrix 193

Attribute von Matrizen 194

Quadratische Matrizen 194

Reguläre Matrizen 196

Idempotente Matrizen 197

Diagonalmatrizen 198

Adjungierte von Matrizen bestimmen 199

Komplementäre Matrizen erzeugen 200

Matrizen invertieren 202

Mittels Determinanten und Adjunkten 203

Mittels Gauß-Jordan-Algorithmus 203

Komplexe Matratzen, pardon, Matrizen 205

Unitäre Matrizen 205

Hermitesche Matrizen 207

Schiefhermitesche Matrizen 208

Ähnliche Matrizen 208

Der Matrix auf der Spur 210

Kapitel 8 Die lineare Unabhängigkeitserklärung 213

Wir kombinieren linear 213

Warum unabhängig besser ist als abhängig 215

Bestimmung der linearen Unabhängigkeit 216

Bein-Tupel-Vektoren 217

Bei Polynomen 220

Bei Matrizen 222

Bei linearen Abbildungen 225

Im Allgemeinen 228

Fallstricke der linearen Unabhängigkeit 232

Lineare Unabhängigkeit mit der Lösung von Gleichungssystemen 233

Kapitel 9 Basen, keine lästige Verwandtschaft 235

Auf dieser Basis beruht unsere Arbeit 235

Erzeugende Systeme 241

Lineare Hüllen als Unterräume 242

Lineare Unabhängigkeit von Basisvektoren 243

Erzeugte Unterräume 244

Matrizen und Basen: So geht das! 248

Dimensionen und Basisvektoren 249

Der Dimensionssatz 250

Jetzt haben Sie endlich die Koordinaten 251

Basen für Orthonormal-Verbraucher 252

Teil III Analytische Geometrie Fürs Leben 257

Kapitel 10 Geometrische Grundelemente259

Affinität zu geometrischen Räumen 259

Punkte im Euklidischenn-Raum 263

Darstellungsmöglichkeiten von Geraden 264

Parameterform 264

Gleichungsform 266

Darstellungsmöglichkeiten von Ebenen 266

Parameterform 266

Normalenvektor und Normalenform 267

Koordinatenform 268

Achsenabschnittsform 270

Aus der Form gesprungen oder wie Sie von einer Form in die andere gelangen 271

Festhalten, jetzt kommen höherdimensionale Objekte 272

Parameterformen 272

Koordinatenformen und Gleichungssysteme 273

Was sonst noch interessant ist 275

Dreiecke 275

Parallelogramme 276

Spate 277

Flächen zweiter Ordnung 279

Elliptisches Paraboloid 280

Hyperbolisches Paraboloid 281

Kapitel 11 Abstand halten und schneiden 283

Wir bestimmen den Abstand von 283

Punkt zu Punkt 284

Punkt zu Gerade 286

Punkt zu Ebene 288

Wenn sich zwei Geraden treffen 290

Abstand paralleler Geraden 290

Abstand windschiefer Geraden 292

Schnittpunkt und -winkel zweier Geraden 295

Ebenen kommen ins Spiel 299

Abstand einer Geraden von einer parallelen Ebene 299

Durchstoßpunkt und -winkel von Gerade zu Ebene 300

Abstand zweier paralleler Ebenen 303

Schnittgerade und -winkel zwischen Ebenen 304

Überdimensionale Objekte 308

Abstandsbestimmung allgemein 308

Schnittobjekte und -winkel ermitteln 309

Kapitel 12 Geometrische Transformationen311

Geometrie jenseits Lineal und Zirkel 311

Affine Abbildungen 312

Identität 317

Translation 317

Transvektion (Scherung) 318

Rotation 321

Spiegelung 328

Kontraktion 334

Die Hauptachsentransformation 336

Hauptachsentransformation 3D 340

Teil IV Lineare Algebra For Runaway Dummies347

Kapitel 13 Raubtierfütterung der Morphismen349

Was Homomorphismen eigentlich sind 349

Beispiel 1: Quadratische Funktionen 350

Beispiel 2: Trigonometrische Funktionen 351

Beispiel 3: Exponential- oder Logarithmusfunktionen 352

Beispiel 4: Endlich linear 354

Wurfarten, die Sie sichmerken sollten 355

Kern einer linearen Abbildung 355

Bild einer linearen Abbildung 355

Surjektivität 356

Injektivität 357

Bijektivität 358

Operationen auf Homomorphismen 359

Morphismen, Aufzucht und Pflege 362

Homomorphismen 362

Epimorphismen 362

Monomorphismen 362

Isomorphismen 363

Endomorphismen 364

Automorphismen 365

Projektionen 366

Orthogonale Projektionen 369

Ansteckungsgefahr bei Morphismen, Diagnose: Singularität 371

Lineare Operatoren in der Technik 373

Kapitel 14 Ganz bestimmte Determinanten377

Warum Determinanten wichtig sind 377

Was Permutationen mit Determinanten zu tun haben 379

Berechnung von Determinanten 381

Determinanten von 2x2-Matrizen 381

Determinanten mit der Regel von Sarrus berechnen 382

Berechnung von Determinanten im Allgemeinen 385

Rechenregeln für Determinanten 386

Wie sich die Transpositionen auf Determinanten auswirken 386

Diagonalmatrizen sind die besten Freunde von Determinanten 387

Die Determinate der Einheitsmatrix 387

Skalare Multiplikation und Determinanten 388

Determinanten und der Zeilentausch/Spaltentausch 388

Leibniz trifft auf Gauß 389

Determinantenberechnung für Dreiecksmatrizen 390

Zusammenhang zwischen Determinante und Invertierbarkeit einer Matrix 391

Unterdeterminanten 391

Der Entwicklungssatz 394

Determinanten von Homomorphismen 396

Determinanten und das Spatprodukt 397

Kapitel 15 Es reicht, wir wechseln die Basis399

Ausgangssituation 399

Wo die neuen Basisvektoren herkommen 403

Die Übergangsmatrix bestimmen 404

Die Übergangsmatrix als linearer Operator 410

Basiswechsel bei allgemeinen Homomorphismen 413

Ein instruktives Beispiel zum Basiswechsel 416

Dem Ingeniör ist nichts zu schwör 416

Kapitel 16 Artige Eigenwerte419

Eigenartige Werte 419

Eigenwerte von Endomorphismen 421

Von Eigenwerten über Eigenvektoren zu Eigenräumen 422

Eigenwerte der Matrixdarstellungen 423

Wie man aus Eigenwerten die zugehörigen Eigenvektoren presst 426

Eigenartige Eigenräume 427

Das Jacobi-Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten 429

Praxisbeispiele 434

Mechanische Schwingungen 434

Elektromagnetische Schwingkreise 435

Kapitel 17 Diagonalisieren statt um die Ecke denken 439

Was Matrizen und Homomorphismen gemeinsam haben 439

Was die Diagonalmatrix eines Homomorphismus bedeutet 442

Wann Sie überhaupt diagonalisieren können 444

Diagonalisieren ohne Verrenkungen 447

Eine Null als Eigenwert 449

Eigene Werte ohne Potenz 451

Was man Schlaues mit der Diagonalisierung anstellen kann 452

Potenzieren nach Basiswechsel 453

Betrachten Sie den Gipfel 455

Der Spektralsatz für Endomorphismen 460

Anwendung des Spektralsatzes für den reellen Zahlenkörper 465

Anwendung des Spektralsatzes für den komplexen Zahlenkörper 468

Die charakteristische Gleichung an unerwarteter Stelle 470

Der Satz von Cayley-Hamilton 471

Anwendungen des Satzes von Cayley-Hamilton 472

Was Sie tun, wenn Sie oben angekommen sind 475

Teil V Der Top-Ten-Teil477

Kapitel 18 Lineare Algebra in fast 10 Minuten479

Linearität verstehen und keine Angst vor Algebra haben 479

Grundaspekte der analytischen Geometrie verinnerlichen 480

Gleichungssysteme mit geometrischen Objekten identifizieren 480

LGSe mit unterschiedlichen Methoden lösen 480

Zusammenhang von Matrizen und linearen Abbildungen begreifen 481

Determinanten und Eigenwerte als Herz einer Matrix betrachten 481

Basiswechsel als Spezialfall eines Isomorphismus erkennen 481

Diagonalisieren zur Ermittlung von Eigenwerten 482

Den Spektralsatz als Gipfel der Erkenntnis ansehen 482

Stichwortverzeichnis 485